Parabola

Parabola je druh kuželosečky, rovinné křivky druhého stupně. Parabola je množina těch bodů roviny, které jsou stejně vzdáleny od dané přímky (tzv. řídicí přímka nebo také direktrix) jako od daného bodu, který na ní neleží (tzv. ohnisko neboli fokus).

Vlastnosti, vyjádření

Parabola je pouze osově souměrná. Osa souměrnosti prochází ohniskem a je kolmá na řídicí přímku. Otáčením paraboly kolem její osy symetrie vznikne kvadratická rotační plocha, zvaná rotační paraboloid.

O parabole říkáme, že je v normální poloze, je-li její osa rovnoběžná s osou ${\displaystyle x}$ nebo ${\displaystyle y}$.

Parabolu lze také definovat jako kuželosečku s výstředností rovnou jedné. Z toho vyplývá, že všechny paraboly jsou podobné, odtud také pramení název. Parabolu lze také chápat jako limitu posloupnosti elips, ve které je jedno ohnisko pevné a druhé ohnisko se postupně vzdaluje do nekonečna.

Matematická vyjádření

Implicitní vyjádření

${\displaystyle \|XF\|=\|Xd\|\,\!}$

Množina všech bodů X v rovině, které mají stejnou vzdálenost od ohniska F a od řídicí přímky d, která neprochází ohniskem F.

Kartézský souřadnicový systém

Standardní popis paraboly:

Kanonický tvar rovnice

Kanonický (normální) tvar rovnice paraboly v normální poloze (osa paraboly je rovnoběžná s osou ${\displaystyle x}$ a vrchol ${\displaystyle V=}$) v kartézských souřadnicích je

${\displaystyle {(y-y_{0})}^{2}=2p(x-x_{0})}$

Pro ${\displaystyle p>0}$ je parabola otevřená doprava a pro ${\displaystyle p<0}$ je parabola otevřená doleva. Pro ${\displaystyle x_{0}=0,y_{0}=0}$ dostaneme parabolu s vrcholem v počátku souřadnic.

Ohnisko takto zadané paraboly má souřadnice

${\displaystyle \left}$

a řídicí přímka je určena rovnicí

${\displaystyle x=x_{0}-{\frac {p}{2}}}$

Kanonický tvar rovnice paraboly s osou v ose ${\displaystyle y}$ a vrcholem v počátku souřadnicového systému lze zapsat jako

${\displaystyle x^{2}=2py}$

Pro ${\displaystyle p>0}$ je parabola otevřená nahoru a pro ${\displaystyle p<0}$ je otevřená dolů.

Rovnice kuželosečky

Jestliže v rovnici kuželosečky položíme ${\displaystyle a_{11}=a_{12}=0}$ a ${\displaystyle a_{13}a_{22}\neq 0}$, pak dostaneme parabolu v normální poloze (osa paraboly je rovnoběžná s osou ${\displaystyle x}$), která má řídicí přímku

${\displaystyle x={\frac {a_{23}^{2}+a_{13}^{2}-a_{22}a_{23}}{2a_{22}a_{13}}}}$

ohnisko má souřadnice

${\displaystyle F=\left}$

a souřadnice vrcholu jsou

${\displaystyle V=\left}$

Parametr má velikost

${\displaystyle |p|=\left|{\frac {a_{13}}{a_{22}}}\right|}$

Podobně v případě ${\displaystyle a_{12}=a_{22}=0}$ a ${\displaystyle a_{11}a_{23}\neq 0}$ dostaneme parabolu v normální poloze (osa paraboly je rovnoběžná s osou ${\displaystyle y}$). Pro řídicí přímku, ohnisko, vrchol a parametr pak dostaneme

${\displaystyle y={\frac {a_{13}^{2}+a_{23}^{2}-a_{11}a_{13}}{2a_{11}a_{23}}}}$

${\displaystyle F=\left-{\frac {a_{13}}{a_{11}}},\;{\frac {a_{13}^{2}-a_{23}^{2}-a_{11}a_{33}}{2a_{11}a_{23}}}\right}$

${\displaystyle V=\left-{\frac {a_{13}}{a_{11}}},\;{\frac {a_{13}^{2}-a_{11}a_{33}}{2a_{11}a_{23}}}\right}$

${\displaystyle |p|=\left|{\frac {a_{23}}{a_{11}}}\right|}$

Parabolu v obecné poloze lze do normální polohy převést otočením souřadnicové soustavy o úhel ${\displaystyle \alpha }$ určený vztahem

${\displaystyle \operatorname {tg} 2\alpha ={\frac {2a_{12}}{a_{11}-a_{22}}}}$

Charakteristické rovnice paraboly dle jejího umístěníeditovat | editovat zdroj

• Osa paraboly ${\displaystyle o}$ rovnoběžná s osou ${\displaystyle x}$ mající minimum(bod V) na ose ${\displaystyle x}$.

Vrcholová rovnice:

${\displaystyle (y-n)^{2}=2p(x-m)\,\!}$

Parametrické rovnice:

${\displaystyle x={p \over 2}t^{2}+m\,\!}$

${\displaystyle y=pt+n\,\!}$

Obecná rovnice:

${\displaystyle y^{2}+Ax+By+C=0,A\neq 0\,\!}$

Rovnice řídicí přímky:

${\displaystyle x=m-{p \over 2}\,\!}$

Rovnice tečny v bodě ${\displaystyle Tx_{0},y_{0}}$:

${\displaystyle (y-n)(y_{0}-n)=p(x+x_{0}-2m)\,\!}$

Osa paraboly ${\displaystyle o}$ rovnoběžná s osou ${\displaystyle x}$ mající maximum(bod V) na ose ${\displaystyle x}$Zdroj:
>Text je dostupný pod licencí Creative Commons Uveďte autora – Zachovejte licenci, případně za dalších podmínek. Podrobnosti naleznete na stránce Podmínky užití.